Chaos Theory: Definition, Examples, and Applications
CHAOS
According to the RAE:
- An amorphous and undefined state is supposed before the organization of the cosmos.
- Confusion, disorder.
- Fís.yMat.Comportamiento apparently erratic and unpredictable in some dynamic systems, although their mathematical formulation is in principle deterministic
WHAT IS CHAOS THEORY?
It is an integrated interpretation of nonlinear dynamics, thermodynamics in disequilibrium, information theory, and fractal geometry.
The following analysis systems are found to be nonlinear, which are not equilibrium, are deterministic, dynamic and which incorporate randomness so that they are sensitive to initial conditions, and have strange attractors are said to be chaotic.
Ej. Stephen Hawking dice que si el universo hubiese tenido una densidad de una parte en mil billones más grande, un segundo más tarde del Big Bang, el universo hubiese colapsado 10 años más tarde.
– Por el contrario si el universo hubiese tenido las condiciones a la inversa, hubiese estado vacío al cabo de 10 años.
Usualmente el caos lo asumimos como algún tipo de confusión o desorganización.
– Scientifically, caos implica la existencia de aspectos impredecibles o aleatorios en cuestiones dinámicas, lo cual no necesariamente es malo o no deseable.
CHAOS EXAMPLE
Xt = Axt-1 * (1-Xt-1)
DEFINITION OF CHAOS
Caos es un conjunto intrincado de orden y desorden, regularidad e irregularidad, patrones de comportamiento los cuales son irregulares pero son sin embargo reconocibles como categorías amplias de comportamiento o arquetipos, en los cuales existe una variedad individual infinita. (Parker & Stacey, 1994)
EQUILIBRIUM AND NON-EQUILIBRIUM
– Estado de un cuerpo cuando fuerzas encontradas que obran en él se compensan destruyéndose mutuamente. (SAR)
EJ:- heater
– Shower
Mathematically speaking,
Microequilibrium: The smallest component is in equilibrium.
Macro Balance: The balance is assessed in an aggregated manner.
Overall Balance: It is when a group of systems are in equilibrium with each other.
Local equilibrium: Some parts of the system are in balance.
STABILITY AND INSTABILITY
Balance and stability are twin concepts. La inestabilidad puede ocurrir en todo tipo de estructuras: solid, fluid, alive, inertes e institucionales.
– Las perturbaciones pueden hacer que un sistema estable se vuelva inestable.
– Muchas veces se necesita más de una perturbación para que un sistema estable se convierta en inestable, por tanto la probabilidad de que converjan estas perturbaciones es muy importante.
PARAMETERS TO EVALUATE THE EQUILIBRIUM
“It is desirable to know at what rate a system approaches equilibrium.
“If > 1 the matter?
“If <1 the matter?
SOME Chaotic Systems
- Movement of tectonic plates
- Fluid turbulence
- Dripping from a faucet
- Weather
- Population growth
- Magnetic Field
- Medicine
- Cardiac activity
- Economy
- Astronomy
PARAMETERS TO EVALUATE THE EQUILIBRIUM
“It is desirable to know at what rate a system approaches equilibrium.
“If > 1 the matter?
“If <1 passes?
PHASE SPACE
“We are used to place two or three dimensions.
“This is not valid when there are dynamic systems.
– X, Y, Z are state variables
– Spaces shaped by state variables and their derivatives are called phase spaces.
PHASE SPACE
– Assume that a phenomenon is represented by
Following equations
– Phase Diagram
PHASE SPACE
“A moving point describes a closed curve? Stay within any position on the plane? In other words, talking in the language of astronomy, we must ask if the orbit of the point is stable or unstable.
Poicaré Henry (father of the theory of dynamical systems)
ATTRACTORS
“What are attractors?
“Dynamical systems are attracted to the attractors and insects are attracted to light at night.
FIXED POINT ATTRACTORS
* How will its phase diagram, velocity vs position X?
FIXED POINT ATTRACTORS
* El atractor de punto fijo no es sensible a las condiciones iniciales.
* Dado que la sensibilidad a las condiciones iniciales es un indicador de caos, se concluye que cuando se tiene un atractor de punto fijo no hay caos.
Como será su diagrama de fase, velocidad vs posición en X, si no tuviese pérdidas?
En este segundo ejemplo el resultado depende de las condiciones iniciales, pero esto es caos?